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5.如图四边形ABCD中，AB∥CD, E为BC中点，F是DC长线的一点，∠BAE=∠ EAF
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。                






6． 已知：如图，等边△ABC中，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M段DF上，∠ABE＝∠DBM．
（1）猜想：线段AE、MD之间有怎样的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，
求tan∠BCP的值．









7.如图，在△ABC中，AB=AC， P为△ABC内一点，且∠BAP=70°，∠ABP=40°，
（1）求证：△ABP是等腰三角形；
（2）连接PC,当∠PCB=30°时，求∠PBC的度数.












8.．已知三角形ABC，AD为BC边中线，P为BC上一动点，过点P作AD的平行线，交直线AB或延长线于点Q，交CA或延长线于点R.
（1）当点P在BD上运动时，过点Q作BC的平行线交AD于E点，交AC于F点，
求证QE=EF；
（2）当点P在BC上运动时，求PQ+PR为定值.





9.已知：等边中，点O是边AC,BC的垂直平分线的交点，M,N分别在直线AC, BC上，且．
(1)   如图1，当CM=CN时， M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN 、MN三者之间的数量关系；
（2） 如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
(3)   如图3，当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN 、MN三者之间的数量关系．



10．在△中，,是底边上一点，是线段上一点,且∠．
(1) 如图1,若∠,猜想与的数量关系为         ；
(2) 如图2,若∠，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠，请直接写出与的数量关系.







11.问题：如图1， 在Rt△中，，，点是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.
（1） 当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由的度数为     ，点E落在           ，容易得出BE与DE之间的数量关系为       ；
（2） 当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．







12.已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．
(1) 求证：BF∥AC；
(2) 若AC边的中点为M，求证：；
(3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．









          图1                         图2
．如图1，若四边形ABCD、GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE．
（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（2）当正方形GFED绕D旋转到B，D，G在一条直线 （如图3）上时，连结CE，设CE分别交AG、AD于P、H ．
  ① 求证：AG⊥CE；
② 如果AD=4，DG=，求CE的长．













．如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上，， ．将直线绕点逆时针旋转，交直线于点．将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为．

图1               图2             图3              
解答问题：
（1）①当点与点重合时，如图2所示，可得的值为           ；
②在平移过程中，的值为           （用含的代数式表示）；
（2）将图2中的三角板绕点逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点落段上时，如图3所示，请补全图形，计算的值；
（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，≤，原题中的其他条件保持不变.计算的值（用含k的代数式表示）．


.阅读： 为Δ中边上一点，连接，为上一点.
  如图1，当为边的中点时，有，；
  当时，有.
 
图1               图2               图3
解决问题：
  在Δ中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点．设的面积为，的面积为.
（1）如图2，当时，的值为__________;
（2）如图3，当时，的值为__________;
（3）若，，则的值为__________.


16. 已知抛物线（其中a ≠ c且a ≠0）.
  （1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）
（2）若经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为， 求此抛物线的解析式；
（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线与 y轴的交点为C，若
，求点P的坐标；
（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N， 则N关于n的函数关系式为     .
.如图，已知平面直角坐标系中的点，、为线段上两动点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，且.
（1）                 （填“>”、“=”、“<”），与的函数关系是                 （不要求写自变量的取值范围）；
（2）当时，求的度数；
（3）证明: 的度数为定值.


25. 含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转角（且≠ 90°），得到Rt△，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥交边于点E，连接BE.
  （1）如图1，当边经过点B时，=     °；
  （2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；
（3） 设 BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=
  时，求AD的长，并判断此时直线与⊙E的位置关系.